최대공약수란 무엇인가요? 수학 개념의 첫 단추!
수학을 공부하면서 처음 접하게 되는 개념 중 하나가 **‘약수’**와 ‘배수’, 그리고 이 두 개념을 응용한 **‘최대공약수’**입니다. 초등학교에서 처음 배우고, 중학교에서는 보다 복잡한 문제에 활용되며, 고등학교, 심지어 일상생활까지 연결되는 기초 개념이죠.
그럼 먼저 질문을 하나 드릴게요.
"최대공약수란 정확히 무엇일까요?"
단순히 약수 중 큰 수일까요? 공통된 수일까요?
정답은 이렇습니다.
최대공약수란, 두 수 이상의 공통된 약수(공약수) 중에서 가장 큰 수를 말합니다.
수학적 용어로는 GCD(Greatest Common Divisor) 또는 GCF(Greatest Common Factor) 라고도 하며, 보통 중등 수학 교재나 문제집에서 자주 등장하는 개념입니다.
최대공약수의 정확한 정의와 예시
정의:
두 개 이상의 수가 있을 때, 그 수들을 나누어떨어지게 만드는 약수들 중에서 가장 큰 수를 ‘최대공약수’라고 합니다.
예시로 이해해볼까요?
12와 20이라는 숫자가 있다고 해봅시다.
- 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 20의 약수: 1, 2, 4, 5, 10, 20
- 공약수: 1, 2, 4
- 그 중 가장 큰 수 = 4
따라서 12와 20의 최대공약수는 4입니다.
이처럼 최대공약수는 숫자들을 공평하고 효율적으로 나누기 위해 꼭 필요한 수학 도구입니다.
최대공약수가 필요한 이유는?
"공부할 땐 왜 이런 걸 배워야 하지?"
라는 의문, 누구나 한 번쯤 들어봤을 겁니다. 그런데 최대공약수는 단순한 수학 문제 풀이에서 끝나지 않고 우리의 생활과도 연결되어 있습니다.
실생활 활용 예시
- 간식 나누기
예를 들어 30개의 사탕과 45개의 초콜릿을 최대한 공평하게 나누고 싶다면, 최대공약수인 15를 기준으로 2개의 간식을 구성할 수 있죠. - 시간표 만들기
A 활동은 20분마다, B 활동은 30분마다 반복된다면, 두 활동이 다시 동시에 시작되는 최소 시간은 최소공배수지만, 각 간격의 효율을 따지면 최대공약수가 기준이 됩니다. - 분수의 약분
수학 시험에 자주 등장하는 약분 문제.
예를 들어 36/60을 약분하려면, 36과 60의 최대공약수인 12로 나누면 3/5라는 가장 간단한 분수로 만들 수 있어요.
이처럼 최대공약수는 공평한 분배, 효율적인 계산, 비율 파악 등에서 없어서는 안 될 중요한 수학 개념입니다.
최대공약수를 구하는 세 가지 방법 (자세히 설명)
1. 공약수 나열법
가장 기초적인 방법입니다.
각 수의 약수들을 나열한 후, 공통된 약수를 고르고, 그 중 가장 큰 수를 선택하는 방식입니다.
장점
- 개념 이해가 쉽고 직관적입니다.
단점
- 숫자가 크면 약수 나열이 번거롭습니다.
예시
24의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
→ 공약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 최대공약수는 12
2. 소인수분해 이용법
소인수분해란?
자연수를 소수들만의 곱으로 표현하는 방법입니다.
이 방법은 최대공약수뿐 아니라 최소공배수도 쉽게 구할 수 있어요.
예시
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
→ 공통된 소인수는 2² × 3 = 12
장점
- 수의 구조를 명확히 이해할 수 있습니다.
- 시험에서 자주 출제되는 방식입니다.
3. 유클리드 호제법
가장 효율적이고 빠른 방법!
두 수의 최대공약수를 구할 때, 큰 수를 작은 수로 나눈 뒤 나머지를 이용해 반복 계산하는 방법입니다.
예시
252와 105의 최대공약수를 구해볼까요?
- 252 ÷ 105 = 2 (나머지 42)
- 105 ÷ 42 = 2 (나머지 21)
- 42 ÷ 21 = 2 (나머지 0)
→ 나머지가 0이 되는 순간의 나누는 수가 최대공약수입니다.
→ 즉, 최대공약수는 21
장점
- 컴퓨터 알고리즘에 사용될 만큼 빠르고 정확합니다.
- 큰 수를 다룰 때 특히 유용합니다.
최대공약수와 최소공배수는 어떤 관계일까?
많은 학생들이 헷갈려하는 부분이 바로 이것입니다.
"최대공약수와 최소공배수는 무슨 관계일까?"
사실 이 두 개념은 아래의 공식으로 서로 연결되어 있어요.
두 수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수
예시
12 × 18 = 216
최대공약수(GCD) = 6
216 ÷ 6 = 36 → 최소공배수(LCM) = 36
이 공식을 알고 있으면, 하나의 값만 알아도 나머지를 쉽게 구할 수 있습니다.
수학 문제에 등장하는 최대공약수 유형
✅ 기본 문제
“다음 수의 최대공약수를 구하시오.”
- 18과 24
- 소인수분해 후 공통된 인수 곱하기 → 답: 6
✅ 약분 문제
“다음 분수를 기약분수로 나타내시오.”
- 48/60 → 최대공약수: 12 → 4/5
✅ 나눗셈 응용 문제
“한 반에 36명, 다른 반에 48명 있습니다. 같은 수로 그룹을 만들면 최대 몇 명씩 나눌 수 있나요?”
- 최대공약수: 12 → 한 그룹당 12명
최대공약수를 효과적으로 공부하는 팁
- 소인수분해 마스터
소인수분해를 빠르게 할 수 있다면 대부분의 최대공약수 문제는 쉽게 풀립니다. - 유클리드 호제법 익히기
복잡한 수의 경우, 이 알고리즘은 훨씬 빠르고 정확합니다. - 문제 풀이 반복 학습
문제를 많이 풀다 보면 유형이 익숙해지고 개념이 자연스럽게 체화됩니다. - 비교학습 추천
최소공배수와 최대공약수를 비교하며 학습하면 두 개념을 더 깊이 이해할 수 있어요.
최대공약수는 수학의 '기초 체력'
최대공약수는 단순한 숫자 계산 이상의 의미를 갖고 있습니다.
비율을 정확히 계산하거나, 무언가를 공평하게 나누고자 할 때, 반드시 필요한 수학의 기초 체력이자 핵심 개념이죠.
공약수, 최대공약수, 소인수분해, 유클리드 호제법
이 네 가지를 정확히 이해하면, 수학을 보다 즐겁고 자신감 있게 접근할 수 있습니다.
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앞으로도 초등·중등 수학 개념을 쉽고 친절하게 설명해 드릴게요!
✅ 최대공약수 구하는 예제 10문제
🔹 초급 (약수 나열 or 소인수분해)
문제 1. 18과 24의 최대공약수를 구하세요.
문제 2. 12와 30의 최대공약수를 구하세요.
문제 3. 16과 20의 최대공약수를 구하세요.
문제 4. 14와 21의 최대공약수를 구하세요.
문제 5. 9와 27의 최대공약수를 구하세요.
🔹 중급 (소인수분해 or 유클리드 호제법 추천)
문제 6. 36과 60의 최대공약수를 구하세요.
문제 7. 45와 75의 최대공약수를 구하세요.
문제 8. 48과 64의 최대공약수를 구하세요.
문제 9. 84와 126의 최대공약수를 구하세요.
문제 10. 120과 168의 최대공약수를 구하세요.
최대공약수 예제 10문